𝑴 = 𝑷 + 𝑰

 𝑰 = 𝑷𝒓𝒕 

Comprobación: El monto del interés para un periodo corto debe ser pequeño con relación al capital, siempre y cuando el interés sea pequeño. Por lógica, el importe liquidado tiene que ser mayor que el capital.

Los meses podemos simplificarlos para hacer más sencilla la operación:

3	=		3	=		1
12			2·2·3			4

Fórmula

𝐼 = 𝑃𝑟𝑡

Sustitución: 

5.20=(260)r¼

Multiplica 260 por ¼ para simplificar el coeficiente de r:

5.20=65r

Divide ambos lados de la ecuación entre el coeficiente de r: 

Determinación del tiempo 

𝑃 = 480
𝑟 = 7.5 % = 0.075
𝑡 = desconocido
𝑀 = 498

Para determinar el interés, resta el valor al vencimiento del principal:
𝐼 = 498 − 480 = 18
𝐼 = 𝑃𝑟𝑡
18 = (480)(0.075)𝑡
18 = 36 𝑡
18  =  ̶3̶6̶ t
36𝑡     ̶3̶6̶

El tiempo es ½ año ó 0.5 año. Como la tasa es una tasa anual, el tiempo también es parte de un año.

0.5 = 𝑡 ó ½ = 𝑡

¿Cuánto se tomó prestado si el interés es 27 pesos, la tasa es 9% y el tiempo 2 meses? 

𝐼 = 27

𝑃 = desconocido

𝑟 = 9% = 0.09

𝑡 = 2 meses ó  2  de un año
                     12

Se utilizará el quebrado 2/12 en lugar del decimal etitivo equivalente, es decir,0.16666666, ya que el quebrado es exacto.

𝐼 = 𝑃𝑟𝑡
27 = (𝑃)(0.09)(2)
                     12
Multiplica 0.09 por 2 y divide el resultado entre 12:
27 = 𝑃 (0.015)
Divide ambos lados entre el coeficiente de 𝑃:

   27   = 𝑃(0.015)
0.015       0.015

1,800 = 𝑃
El capital (principal) es de 1,800 pesos.

2.1.4. Plazo

El plazo es el intervalo regular establecido que puede ser anual, semestral, trimestral, mediante el cual se calcula el interés y que después se añade al principal o capital (𝑃).

¿En cuánto tiempo se duplica un capital invertido al 49% de interés anual simple, si 𝑀 = 2 y 𝑃 = 1?

Para calcular el problema anterior se utiliza la siguiente fórmula:
 𝑴 = 𝑷(𝟏 + 𝒊𝒕)
2 = 1[1 + (0.49)𝑡]
1 + 0.49𝑡 = 2
0.49𝑡 = 2 − 1 = 1
𝑡 = 1 / 0.49
𝑡 = 2.04 años

0.04 𝑎ñ𝑜𝑠 = 365 (0.040)𝑑í𝑎𝑠 = 14.89 𝑑í𝑎𝑠
𝑡 = 2 años y 15 días aproximadamente

Comprobación:
Utilizando 𝑀 = 30 𝑃 = 15.

30 = 15(1 + 0.49𝑡)

30= 1 + 0.49𝑡
15
2 = 1 + 0.49 𝑡, que es la misma expresión anterior.

Ejemplo de cálculo de plazo

¿En cuánto tiempo se acumularían 5,000 pesos si se depositaran hoy 3,000 pesos en un fondo que paga 4% simple anual?
 𝑀 = 5,000
𝑃 = 3,000
𝐼 = 0.04 anual

 5,000 = 3,000(1 + 0.04𝑡)
5,000 =  1 + 0.04t
3,000
1.666667 = 1 + 0.04𝑡
0.04𝑡 = 0.666667
𝑡 = 0.666667/0.04
𝑡 = 16.67 años

Como la tasa 𝑖 estaba dada en años, el resultado que se obtiene en 𝑡 también está en años.
Pero tenemos 0. 67 de año= 0.67(365) días = 244.55 días; entonces, se acumulan 5,000 pesos si se depositan hoy 3,000 pesos a 4% anual simple en 16 años y 244. 55 días, aproximadamente.
Existen situaciones en las que el plazo de una operación se especifica en fechas, en lugar de mencionar un número de meses o años.

Ejemplo de cálculo de intereses en un plazo

¿Cuál será el monto el 24 de diciembre de un capital de 10,000 pesos, depositado en una cuenta de ahorros que paga 49% de interés anual simple desde el 15 de mayo del mismo año?
𝑃 = 10,000
𝑖 = 0.49
𝑡 =?
a) Para calcular el tiempo real es necesario determinar el número de días que transcurren entre las dos fechas (obsérvese que el 15 de mayo no se incluye, ya que si se deposita o se retira una cantidad el mismo día, no se pagan intereses).

16 días de mayo
30 días de junio
31 días de julio
31 días de agosto
30 días de septiembre
31 días de octubre
30 días de noviembre
24 días de diciembre
El total de días es de 223 y 𝑡 = 223 /365= 0. 6109
 𝑀 = 10,000[1 + (0.49)(223)
                                     365
𝑀 = 10,000(1.299369863)
𝑀 = 12,993.69 pesos

b) En muchos casos se calcula el tiempo en forma aproximada, contando meses enteros de 30 días y años de 360 días:

Del 16 de mayo al 15 de diciembre hay 7 meses, más 9 días del 16 de diciembre al 24 de diciembre
7(30) + 9 = 219 𝑑í𝑎𝑠
t=219
  360
𝑀 = 10,000.00[1 + 0.49(219)]
                                     360
𝑀 = 10,000(1.298083333)
𝑀 = 12,980.83

Aunque ocasiona diferencias en los valores que se obtienen, se utiliza el cálculo aproximado del tiempo debido a que es más sencillo.

2.1.5. Descuento

En matemáticas financieras, el descuento no se refiere a que el precio de un bien sea menor en un determinado porcentaje, sino a la bonificación que se recibe por pagar anticipadamente una deuda. En ocasiones, se adquieren documentos en los que el deudor se compromete a pagar cierta cantidad en una fecha determinada. Si se presenta la oportunidad de saldar deudas de manera prematura, se está llevando a cabo una operación de descuento.
D= pdt 
   1-dt
Existen básicamente dos formas de calcular el descuento

Comercial		Real o justo
En este caso, la cantidad que se descuenta se calcula sobre el valor nominal del documento		A diferencia del descuento comercial, el descuento justo se calcula sobre el valor real que se anticipa y no sobre el valor nominal.

Ejemplo de descuento comercial

Recuerda que la cantidad que se descuenta, se calcula sobre el valor nominal del documento.

Una PyME adeudaba un documento con un plazo de un año; sin embargo, liquidó dicho documento 4 meses antes de su vencimiento y, por así realizarlo, recibió un descuento del 30% y el importe final quedó en 166, 666. 67 pesos. ¿Cuál era el valor nominal del documento en la fecha límite de pago?

Solución:
𝑃 = 166,666.67
𝐷 = descuento = 30% = 0.30
𝑡 = 4 / 12 = 1 / 3

Tomar en cuenta que el descuento (𝐷) = 𝑀𝑑𝑡 𝑦 𝑀 = 𝑃 + 𝐷

𝐷 = (𝑃 + 𝐷)𝑑𝑡 = 𝑃𝑑𝑡 + 𝐷𝑑𝑡
𝐷 − 𝐷𝑑𝑡 = 𝑃𝑑𝑡
𝐷(1 − 𝑑𝑡) = 𝑃𝑑𝑡
𝐷 = 𝑃𝑑𝑡
     1−𝑑𝑡
D=166,666.67(0.30)(1/3)=166,666.67(0.10)=16,666.67
          1 − (0.30)(1/3)               1 − 0.10                0.90
𝐷 = 18,518.52

Y el valor del pagaré en su fecha de vencimiento era de:
166,666.67 + 18,518.52 = 185,185.19

Recuerda que el descuento justo se calcula sobre el valor real que se anticipa y no sobre el valor nominal.

Ejemplo de descuento justo

Se sabe que:
Solución:
𝑀 = 166,666.67[1 + 0.3(1)]
                                       3
𝑀 = 166,666.67(1.10)
𝑀 = 183,333.34
Si la operación se hubiera llevado a cabo bajo un descuento real, el valor nominal del pagaré habría sido de 183,333.34 pesos.

2.1.6. Interés compuesto y ecuaciones de valor cronológico derivadas 

Si se toma en consideración la simbología que más adelante se describe, del interés compuesto y del número de periodos en un horizonte dado se derivará una serie de expresiones que arrojará como resultado diferentes equivalencias del dinero a través del tiempo. En este apartado se explicarán ampliamente los conceptos antes mencionados.

a) Simbología y diagramas de flujo monetario para interés simple y compuesto, y para el concepto de equivalencia

Antes de abordar el concepto de equivalencia y las expresiones algebraicas que te llevarán a comprenderlo, es necesario considerar el uso de la siguiente simbología:

• 𝟎 = Al momento presente. 
• 𝒏 = Al número de periodos. 
• 𝑷 = Al valor actual o presente del capital. Se le representa en el momento presente (0). 
• 𝑭 = Al valor futuro de una cantidad de dinero. Éste se indica en un periodo (𝑛). 
• 𝑨 = Al valor de cada componente en una serie de pagos o ingresos iguales. Se representa a partir del periodo 1 hasta 𝑛, dentro de un diagrama de flujo monetario. 
• 𝒊 = La tasa de interés compuesto por periodo. 
• 𝑮 = Al valor en que se incrementa, en cada periodo, la magnitud de cada componente 𝐴. El valor de 𝐺 se representa a partir del periodo número 2 hasta 𝑛.

Diagrama de flujo monetario

Con el propósito de tener una idea más concreta acerca de la interpretación de la simbología anterior, vas a utilizar un diagrama de flujo monetario. Dicha figura es una representación diagramática que consiste en una línea horizontal delimitada por el cero (0) y 𝑛. En esta representación se indicarán los ingresos (hacia arriba) y los egresos (hacia abajo), con referencia a la línea horizontal. La simbología descrita anteriormente se ubica en el diagrama de la siguiente forma:



 Un diagrama de flujo de efectivo lo constituiría el siguiente ejemplo:
En el cual:
𝑃 = Inversión
𝐴1 = Ingresos anuales
𝐴2 = Egresos anuales
𝐹 = Valor futuro

Es conveniente aclarar que tanto los ingresos, como los egresos no se comportan de una manera uniforme a través del tiempo. 

Al respecto, es precisamente mediante el concepto de equivalencia que se obtiene el empleo de los factores de interés compuesto, lo que te permitirá representar como una serie uniforme los flujos monetarios para un horizonte de tiempo dado. Por otra parte, al tratar de esta manera los datos de un problema, se simplifican los cálculos relativos a su evaluación.

Por lo general, el interés compuesto es el concepto que mejor representa el valor del dinero a través del tiempo, ya sea capitalización o descuento.

Concepto de interés compuesto

Si inviertes 100 pesos ahora al 10% de interés, dentro de 3 años poseerás 133.10 pesos. En términos de poder adquisitivo, 100 pesos de ahora serían equivalentes a 133.10 pesos dentro de 3 años si los 100 pesos referidos se invirtieran al 10% anual de interés compuesto.
En términos concretos, el concepto de equivalencia se puede enunciar de la siguiente manera:

Si dos cantidades (100 pesos de ahora y 133.10 pesos de 3 años después) se refieren o se trasladan a un mismo punto o periodo, en dicho punto las cantidades resultarían iguales.

Este concepto se aclarará cuando analices, al menos, los primeros 2 factores de interés compuesto, es decir, 𝐹 / 𝑃 y 𝑃 / 𝐹 .

Diferencia entre interés compuesto e interés simple

interés simple: cantidad a pagar o a recibirse por la utilización del dinero. Esta renta o cantidad es uniforme por periodo, ya que se calcula tomando como base el préstamo o depósito original.

Por  su parte, en el interés compuesto: se ganan o se pagan intereses sobre capital e intereses, es decir, en el primer periodo se ganarán determinados intereses (𝑃.𝑖), de tal manera que al final del periodo 1 adeudarán 𝑃 + (𝑃.𝑖). A esto se le conoce como capitalizar los intereses, es decir, los intereses forman parte del capital.

Para el segundo periodo, los intereses ganados serán igual a 𝑃 + (𝑃.𝑖) 𝑖 y así sucesivamente, hasta un periodo 𝑛.

Lo anterior pudiera prestarse a confusiones. Para no abrigar ninguna duda, observa el siguiente problema, en el cual se compararán los resultados utilizando interés simple e interés compuesto:

Ahora, prestas 100 pesos a un interés de 10% por periodo. ¿A cuánto asciende la deuda al final de cada periodo? Realizando cálculos, tenemos:

n	Interés simple	Interés compuesto
Periodo 1	𝐼𝑆=𝐹₁=100+(100x0.1)=110	𝐼C=𝐹₁=100+(100 x 0.1)=110
Periodo 2	𝐼𝑆=𝐹₂=110+(100x0.1)=120	𝐼𝐶=𝐹₂=110+(110 x 0.1)=121
Periodo 3	𝐼𝑆=𝐹₃=120+(100x0.1)=130	𝐼𝐶=𝐹₃=121+(121 x 0.1)=133.1
Periodo 4	𝐼𝑆=𝐹₄=130+(100 x 0.1)=140	𝐼𝐶=𝐹₄=133.1+(133.1 x 0.1)=146.41
Periodo 5	𝐼𝑆=𝐹₅=140+(100 x 0.1)=150	𝐼𝐶=𝐹₅=146.41+(146.41 x 0.1)=161.05

Fórmula general para un valor futuro en interés compuesto

𝑭𝒏 = 𝑭 (𝟏 + 𝒊)𝒏

Fórmula para obtener el valor futuro (𝐹) de un capital presente

V𝑃 =  [    VF   ]
          (1 + r)ⁿ

Ejemplo de interés compuesto (Valor futuro de un capital presente)

Calcular el valor presente de una inversión que originó un flujo de efectivo de 16,105.10 pesos en el periodo 5 a una tasa de interés compuesto de 10%.
Donde:
V𝑃 = desconocido
V𝐹 = 16,105.10
r = 10% (ó 0.1)
𝑛 = 5
Convertimos el 10% a una expresión decimal para obtener un resultado más fidedigno.
10/100=0.1
Fórmula:
V𝑃 =  [    VF   ]
          (1 + r)ⁿ
Sustitución y desarrollo:
𝑃 = [16,105.10]
        (1 + 0.1)⁵
𝑃 = [16,105.10]
           (1.1)⁵

𝑃 = [16,105.10]
        1.61051

𝑃 = 10,000

Obtener una serie uniforme (𝐴) a partir de un valor futuro (𝐹) en un periodo enésimo (𝑛). La fórmula para determinar el factor de pago o amortización constante, a través de series iguales es:

𝐴 = 𝐹 [        𝑖          ]
            (1 + 𝑖)ⁿ − 1

Ejemplo de interés compuesto (cálculo de una serie de pagos para calcular un valor presente)

Poseemos una cantidad futura de 𝐹 = 4,750 pesos a partir de una serie uniforme de 3 depósitos de mil pesos a una tasa de 50% anual. Ahora, a partir de 𝐹 = 4,750 calcula la magnitud de los depósitos.

𝐴 = 𝐹 [        𝑖          ]
            (1 + 𝑖)ⁿ − 1
Sustitución y desarrollo:
𝐴 = 4,750 [      0.50     ]
               (1 + 0.50)³−1

𝐴 = 4,750(0.21053)=1000

Ejemplo de interés compuesto (cálculo para obtener el valor presente derivado de una serie de depósitos iguales).

Si se trata de una serie de 5 pagos iguales de 1,000 pesos al 10% de interés compuesto anual, el valor de 𝑃 está dado por:

Fórmula:
𝑃=𝐴[(1+𝑖)ⁿ−1]
          𝑖(1+𝑖)ⁿ

𝑃=1,000[(1+0.10)⁵− 1]
              0.10 (1 + .10)⁵
𝑃 = 1,000 (3.7908)
𝑃 = 3790.80 

Ejemplo de interés compuesto (Cálculo para obtener el factor de recuperación de un capital presente ).

Este factor es el inverso del factor de valor presente de una serie de depósitos iguales.
Para ejemplificar la utilización del factor (𝐴  𝑃 ⁄ ), encuentra el valor equivalente anual durante 5 años, a una tasa de interés de 10%, para un valor presente de 3,970.80.
Fórmula: 

Sustitución y desarrollo:

𝐴 = 3,970.80(0.161051)

                       0.61051

𝐴 = 3,970.80(0.263797480794745376816104568311739365448559401156410214410)

𝐴 = 1,047.48

Es importante esclarecer el concepto de gradiente, el cual lo definiremos como una serie de flujo de caja que puede disminuir o aumentar de manera uniforme y constante; es decir que los ingresos o, bien, los egresos varían en la misma cantidad año con año.

0

En este apartado, observarás que existen tres fórmulas para calcular gradientes, éstas van en función de la equivalencia que se esté usando, es decir:

Valor presente 𝑃

Valor futuro 𝐹

Valor uniforme 𝐴

Factor de valor futuro de una serie aritmética

Considera una máquina, cuyos gastos de operación y mantenimiento anuales experimentan un incremento aritmético de 500 pesos, en un horizonte de 10 años y a una tasa de interés anual de 50%. 

¿Cuál es el valor futuro equivalente de 𝐹?

Factor de valor presente de una serie aritmética

Una pareja de socios desea ahorrar dinero, dentro de un año, depositando 500 pesos en su cuenta. Calculan que los depósitos aumentarán cien pesos por año durante 9 años, a partir del periodo 1. ¿Cuál es el valor presente de tal inversión si la tasa de interés es de 5% anual? 

Solución:
 Primeramente, es necesario llevar al momento presente el flujo uniforme de efectivo desde el 1 hasta el 10, es decir 500 pesos (esta cantidad está representada por una línea punteada); posteriormente, a esta cifra se le suma el gradiente que es de 100 pesos a partir del periodo 2. Esto es: 

 2.2. Aplicaciones del Interés simple y compuesto 

Si observas detenidamente a tu alrededor, notarás que cotidianamente banqueros, amas de casa, estudiantes, inversionistas, empresarios, prestamistas, contadores, consultores, microempresarios y, en general, todas las personas que manejen capital, se enfrentan ante situaciones que les exige tomar decisiones; por ejemplo, se deben considerar opciones de inversión, de ahorro, de crédito, de tasas de interés, de descuentos al saldar una deuda anticipadamente, etcétera. Este dilema surge de la escasez de recursos y de las necesidades ilimitadas que todo ser humano o empresa posee. Entonces, se debe tomar en cuenta esta situación para elegir la opción que optimice el uso de tales recursos.


Por lo que en este apartado verás en acción el empleo del interés simple y del interés compuesto. También conocerás las tasas nominales y efectivas, así como algunos ejemplos de la aplicación de éstas. Todas estas herramientas proveerán una visión más amplia para la toma de decisiones en el ámbito financiero.

Sin más preámbulos, entra de lleno a estas aplicaciones tan interesantes

 2.2.1. Aplicaciones del interés simple

Con la finalidad de que complementes la información concerniente a la tasa de interés simple, es necesario que observes el ejemplo que se presenta a continuación.

Un banco presta a un comerciante 10,000 pesos, y el acuerdo fue que la deuda se pagaría después de 3 meses y se entregarían 13,000 pesos. Este caso permite ejemplificar una operación en la que interviene el interés simple.

El supuesto fundamental del que se parte es que el dinero aumenta su valor con el tiempo:

El comerciante obtuvo inicialmente 10,000 pesos y 3 meses después pagó 13,000 pesos; los 10,000 pesos que obtuvo inicialmente más 3,000 pesos de interés, de acuerdo con el supuesto básico, es la cantidad que aumentó el valor del préstamo original en 3 meses. Desde el punto de vista del banco, esos intereses son su ganancia al haber invertido su dinero en el préstamo y desde el punto de vista del comerciante, son el costo de haber utilizado los 10,000 pesos durante los 3 meses.
Los elementos que intervienen en una operación de interés simple son:

𝑃 = Al capital que se invierte = 10,000
𝑡 = Al tiempo o plazo = 3 meses
𝐼 = Al interés simple = 3,000
𝑀 = Al monto = a capital más intereses = 13,000
𝑖 = La tasa de interés

La tasa de interés refleja la relación que existe entre los intereses y el capital; por  ejemplo:

𝑖= 3,000 =0.3
   10,000

    12    4

𝐹 = 9(1 + 0.021)¹²= 11.5491

Si 𝑥 representa el porcentaje total del aumento, entonces:

9(𝑥) = 2.5491

𝑥 = 2.5491 / 9 =.2832 = 28.32